2023年《圆锥曲线中的最值问题》数学教案设计大全

圆锥曲线的单元复习的基础内容包括椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程、简单几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系,在掌握以上一些陈述性知识和程序性知识的基础上，再学习圆锥曲线的一些综合应用.

在解析几何中，运动是曲线的灵魂，在形的运动中必然伴随着量的变化，而在变化中，往往重点关注变化中不变的量或关系，以及变量的变化趋势，由此产生圆锥曲线中的定点、定值问题，圆锥曲线的中的参数取值范围问题，圆锥曲线中的最值问题等.

圆锥曲线的最值问题是本单元复习综合性较强的内容.重点研究变化的距离、弦长、角度、面积、斜率、定比等几何量的最值及相关问题.本课重点是借助对常见的距离问题等的研究提炼出解决此类问题的思想方法和基本策略，并能进行简单的应用.

解决圆锥曲线的最值问题，不仅要用到圆锥曲线定义、方程、几何性质，还常用到函数、方程、不等式及三角函数等重要知识，综合性强，联系性广,策略性要求高.其基本的思想是函数思想和数形结合思想，基本策略主要是代数和几何两个角度分析. 由于圆锥曲线是几何图形，研究的量也往往是几何量，因此借助几何性质，利用几何直观来分析是优先选择；但几何直观往往严谨性不强，难以细致入微，在解析几何中需要借助代数的工具来实现突破.

几何方法主要结合图形的几何特征，借助圆锥曲线的定义以及平面几何知识作直接论证及判断;代数方法主要是将几何量及几何关系用代数形式表示,通过设动点坐标或动直线的方程，将目标表示为变量的函数，从而转化为函数的最值问题，再借助函数、方程、不等式等知识解决问题.

圆锥曲线的最值问题的解决，涉及的知识面广，需要综合运用圆锥曲线、平面几何、代数等相关知识，还需要较强的运算技能和分析问题解决问题的能力.

在本课的学习中，学生可能存在的问题有：知识的联系性和系统性较弱，难以调动众多的知识合理地解决问题；运算能力不强，算得慢，易算错，影响问题解决的执行力；问题解决的策略性不强，就题论题，对问题的数学本质认识模糊等现象.再加上学生对复习课的认识比较片面，对复习课缺乏新鲜感。

在教学中，可以从简单的问题（或者教材中的问题）出发，通过问题的提出、问题的拓展、问题的变式等措施，使学生对圆锥曲线最值问题的本质特征有更新、更深的认识，同时激发学生学习的积极性；在教学中，通过学生对一类问题的主动思考、交流互动、反思提炼，构建知识体系，形成基本技能，关注数学本质，体验与感悟问题解决的策略。

为了更好地加强策略性知识的学习，教学中可一题多用，减少问题解决的运算量,使学生在关键点加强思考与交流，有更多的时间进行创造性的实践与反思.

1.进一步理解圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质，会求解椭圆、抛物线的相关变量的最值问题，并形成一定的方法;

2.进一步体会“解析法”思想，会从代数与几何两个角度分析和解决曲线的最值问题，并会进行合理的选择；

3.在问题的提出、分析、解决的过程，进一步形成圆锥曲线最值问题的方法体系和数学思想，形成处理最值问题的基本策略,养成质疑和创新的意识.

解决问题后需要重构认知结构，对知识间的联系有新的认识，并在操作中形成技能;会通过反思与交流，感悟并提炼重要的数学思想；在具体的最值问题中，能根据问题的结构有意识地选择几何或代数的策略，并进行具体的操作.

由于圆锥曲线的最值问题涉及到图形运动和数量变化，学生往往缺乏对问题的直觉把握和深切的感受，教学中可通过几何画板、ti—nspire图形计算器、gegebra等软件，直观地呈现数、式、形的联动变化，使学生逐步形成多元联系的观点.

对于一些的运算，可以利用ti—nspire cas代数运算系统，帮助学生在课堂上降低运算的难度，减少运算的时间，更深入地体会数学的本质.

五、教学过程设计

（一） 提出问题——解决问题——形成初步经验

圆锥曲线中求一些变量的最值，是一类常见的问题，如何根据这类问题的特点，寻求相应的解题策略是我们本课研究的重点.

请大家做一做问题一.并与同学交流，进行解题后的反思.

问题一 已知f(0,1),m(0,3),n(3,0), p是抛物线 上的一动点，

（1）求|pf|的最小值；

（2）求|pm|的最小值；

（3）求|pm|+|pn|的最小值.

反思： （1）通过问题一的解决，你能否总结出解决此类问题的基本策略？体现了怎样的数学思想？

（2）你能对每一种策略，总结出明确的操作步骤吗？

（3）面对具体问题时如何选择相应的策略，你有了怎样的经验？

设计意图：

问题一入口简单，计算容易，在方法上有回归定义，构造函数，几何论证等典型方法。让学生先做，一方面是了解学生学习水平，诊断学生学习中存在的问题；另一方面，通过学生的做，让学生对此类问题及其解法有切身的感受与体验.

注重学生在解题后的反思活动，通过相互的交流和表达，对解决的策略进行反思提炼，并作进一步的明确，是使策略性知识内化的重要过程.

预设：解决圆锥曲线中的最值问题主要有两种策略：

一是几何方法：根据图形的特点，借助圆锥曲线的定义及几何图形的一些性质，进行直接判断.

二是代数方法：核心是函数思想，具体步骤：设参变量，找关系，建立目标函数，求函数的最值.

一般地，当条件中几何关系比较明显时，可借助几何直观，否则选用代数的方法.

（二）了解策略——简单应用——形成基本技能

你能否用前面所总结的解题策略来解决下列问题：

问题二 练一练

（1）点p是抛物线c： 上的动点,f是抛物线c的焦点，m(2,4),则 的最小值为 .

（2）若p，q分别椭圆 与圆 上的两个动点，则

的最小值和最大值分别为 ， .

设计意图：

题(1)是动点到两定点的距离的最值问题，由于涉及到抛物线上的点到焦点的距离问题，可以利用抛物线的定义转化为点p到准线 的距离,从而利用平面几何中点到直线的所有距离中垂线段最短的结论得到问题结果.解决此类问题，要求学生有结合曲线的几何性质进行转化与化归的能力.

题(2)对象涉及椭圆与圆，目标是动点到动点的距离最值问题，与问题一相比在结构上有较大差异；设计成填空题的形式可以引导学生优先选择图形直观解决问题，同时强调推导需要理性，本题先借助“形”的结构特点，得到 ，从而将问题转化为求椭圆上动点p到定点m(0,3)的距离的最值问题，进而从代数的角度，设点的坐标，建立目标函数进行求解.

实际教学中学生易凭直觉判断，需要进行适当的变式.如“压扁椭圆”使学生直观地感知错误，促进学生进行反思并调整策略.

图3

有学生用“曲率”来进行说明,

也可以用同心圆来直觉猜想，

最简单的方法还是用代数法——函数思想分析.

（三）问题变式——策略优化——形成能力

问题三. 议一议

点m(0,3)的直线与椭圆 交于p,q两个不同点,若 ,

求数 的取值范围.

分析：先审题：（1）谁在动？目标量是谁？（2）动直线有限制条件吗？（3）动直线确定时，p，q的位置确定吗？不同的位置对目标量 的值是否会有影响？

预设：本题若从代数的角度求解，当直线斜率存在时，设直线的斜率 为参变量，则将 代入 ，得

.

可得 .

（１）若直接求出方程的两根，

则 ．

（２）若设 ，则

但若从几何的角度，却有意外的惊喜！

设计意图:可以建立 与斜率 的等量关系，再由 的范围求 的取值范围，也可以利用问题2的结论从几何的.角度直接判断.同样的思想方法,可以训练学生的学习能力,形成解决问题的策略.

实际教学中，学生更多选择代数方法，只有三个同学选择几何法，学生一利用了练习二的结论 ，但这里事实上对一般的问题有个方法上的漏洞，教师可以提出质疑：当椭圆足够扁时， 的最小值点和最大值点不共线，还能用类似的几何方法处理吗？

其实同样只需再换一个角度就可以顺利解决，用几何画板演示 的变化即可.

练一练

直线=x(>0)与椭圆 交于p,q两点,a,b分别是椭圆的右、上顶点, 则四边形apbq面积的最大值为

你能说明理由吗？谈谈你的解题思路，并与同学议一议，了解一些不同的思路.

设计意图：本题的目标量是四边形的面积，需要借助三角形的面积，转化为距离问题进行求解.由此产生不同的策略.

如1： ，以 为参数构建目标函数;

如2： ，以p点的坐标为参数建立目标函数;

如3： ，以p点坐标为参数，建立目标函数.

如4：以思路2为基础，可以通过几何直观判断面积的最大值，即求p,q两点到直线ab的距离之和的最大值，即为平行于ab且与椭圆相切的两直线之间的距离．

通过交流，了解不同的解法，使学生进一步体会两种策略的灵活运用，提升解题能力．

有学生提出两种几何法（1）如4；（2）较有创意：将椭圆通过伸缩变换成为圆，先解决圆中的四边形面积最大问题，再进行还原！

(四)反思小结——策略内化

本节课的学习，你有什么收获？

（1）你认为解决最值问题有哪些策略？

（2）每种策略如何操作？

（3）这些思想体现了怎样的数学思想？

（4）还有其他收获或感想吗？

设计意图：

解题后，在教师的引导下学生的自主反思，才能使学生的解题技能提升为策略，并内化成自身的能力.

（五）目标检测

（必做题）

1. 若p，q分别抛物线c： 与圆 上的两个动点，求 的最小值.

2.

2. 若p，q分别是两条曲线上的任意两点，则称长度 的最小值为这两曲线之间的距离.给定直线 与椭圆 ，求直线l与椭圆d之间的距离.

（自主题）

3. 给定直线 与椭圆 ，请写出你自己设计的一个最值问题，并选择相应的策略加以解决.

设计意图：开放式地提出问题是学生地“弱点”，但在复习课的教学中，有必要给学生机会重新审视过去做过大量问题的特征，并尝试提出一些 “自己”的具有创造性的问题.同时这也是学生对问题及问题解决本质理解的进一步内化的过

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